Школьная астрономия Петербургa

1. Условие: Туманность Андромеды, Крабовидная туманность, туманность Кошачий глаз, Туманность Ориона. Вычеркните лишнее. Объясните свой ответ.


Решение: Лишнее - Туманность Андромеды. Остальные объекты относятся к разным типам (Крабовидная туманность - остаток вспышки сверхновой, Туманность Ориона - диффузная туманность, туманность Кошачий глаз - планетарная туманность), но все они - облака газа и пыли, находящиеся в нашей Галактике. А Туманность Андромеды - это другая галактика.


2. Условие: Каково приблизительно понижение горизонта (угловое) при наблюдении с вершины холма высотой 250 м?
 

Решение: На приведенном рисунке $R$ - радиус Земли, $h$ - высота холма, угол $\varphi$ - искомое понижение горизонта. Из рисунка видно, что


$!\sin \left( \frac{\pi}{2} - \varphi \right) = \cos \varphi = \frac{R}{R+h}.$


Так как угол $\varphi$ мал, заменяем его косинус на $\cos \varphi \approx 1 - \frac{\varphi^2}{2}.$ Получаем (с учетом того, что $h \ll R$)


$!1 - \frac{\varphi^2}{2} \approx \frac{R}{R+h} = \frac{R+h-h}{R+h} = 1 - \frac{h}{R+h} \approx 1 - \frac{h}{R}.$


Отсюда


$!\varphi = \sqrt{\frac{2\cdot h}{R}} = \sqrt{\frac{0.5}{6.4 \cdot 10^3}} \approx \sqrt{10^{-4}} = 10^{-2}.$


Переходя от радиан к градусам, получаем $\varphi \approx 0^\circ.5$.

3. Условие: Оцените высоту гелиостационарной орбиты. Период вращения Солнца на экваторе принять равным 30 суткам, радиус Солнца $7 \cdot 10^5$ км.}

Решение: Гелиостационарный спутник - это спутник, все время находящийся над какой-то одной точкой на Солнце. Это возможно, если орбита спутника расположена над экватором Солнца, а период обращения совпадает с периодом вращения Солнца, причем направления движения спутника и вращения Солнца совпадают.

Для решения задачи проще всего воспользоваться III законом Кеплера. Если период обращения планеты $P$ (или любого другого спутника Солнца) выражен в годах, а большая полуось (в нашем случае просто радиус) орбиты $R$ - в астрономических единицах (расстояниях от Земли до Солнца), то верно соотношение


$!\frac{P^2}{R^3} = 1.$


Для случая гелиостационарного спутника $P=1/12$ года, поэтому $R = P^{-2/3} = \sqrt[3]{1/144} \approx 1/5$ а.е. Так как радиус Солнца намного меньше 1 а.е. (около $1/200$ а.е.), то высота орбиты спутника мало отличается от радиуса орбиты. Следовательно, ответ $1/5$ а.е. или 30 млн.км.

Задачу можно было решить и без использования III закона Кеплера. Центростремительное ускорение, с которым спутник движется по круговой орбите, равно


$!g = \frac{GM}{R^2},$


где $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса Солнца. Тогда линейная скорость движения по орбите


$!v = \sqrt{gR} = \sqrt{\frac{GM}{R}}.$


Длина орбиты равна $2\pi R$, поэтому период обращения $P = 2\pi R/v$. Подставляя сюда предыдущую формулу и выражая радиус орбиты, получаем:


$!R = \sqrt[3]{\frac{GM}{4\pi^2} \cdot P^2}.$


Фактически это и есть вывод III закона Кеплера для частного случая круговой орбиты, и подстановка численных значений величин в полученное выражение даст тот же ответ, что и ранее. Однако при использовании этого варианта решения требуется помнить значения гравитационной постоянной и массы Солнца.

4. Условие: Для уточнения параметров орбиты Марса была проведена радиолокация планеты. Между моментом отправки сигнала с антенны дальней космической связи (АДКС) и моментом приема отраженного излучения прошло 28 минут. Оцените угловое расстояние между Солнцем и Марсом, считая, что расстояние (линейное) от Солнца до Марса в полтора раза больше, чем расстояние от Солнца до Земли.

Решение: Эту задачу проще всего решать, используя в качестве единицы измерения расстояний "световую минуту" - расстояние, которое свет (и радиоволны) проходит за 1 минуту. Известно, что расстояние между Землей и Солнцем составляет 8 св.минут (если то же расстояние известно в обычных единицах - например, в километрах - и известна скорость света, то это число можно легко получить). Расстояние от Солнца до Марса получается равным 12 св.минутам, а расстояние между Землей и Марсом в момент радиолокации - 14 св.минут (за 28 минут радиоимпульс успел дойти до Марса и вернуться обратно).

В треугольнике "Солнце-Земля-Марс" все три стороны нам известны. Искомое уголовое расстояние - это угол треугольника (при Земле) $\theta$, который может быть получен из теоремы косинусов:


$!r_\text{СМ}^2 = r_\text{СЗ}^2 + r_\text{ЗМ}^2 - 2 \cdot r_\text{СЗ} \, r_\text{ЗМ}\, \cos\theta,$


где $r_\text{СМ}$ - расстояние между Солнцем и Марсом и т.д.

Отсюда, подставляя числа, имеем


$!\cos\theta = \frac{8^2 + 14^2 - 12^2}{2\cdot 8 \cdot 14} \approx \frac{1}{2}$


Следовательно, угол $\theta \approx 60^\circ$.

5. Условие: Светимость квазара равна $10^{12}$ светимостей Солнца. Пусть инопланетный наблюдатель видит Солнце с расстояния 10 парсек. На каком расстоянии от наблюдателя должен находиться квазар, чтобы он имел такой же видимый блеск?

Решение: Освещенность, создаваемая объектом, прямо пропорциональна его светимости и обратно пропорциональна квадрату расстояния до него. Светимость квазара в $10^{12}$ раз больше, следовательно, он должен находиться в $10^6$ раз дальше, чем Солнце. Поэтому ответ: $10^7$ пк.

Решения также можно скачать в виде pdf-файла: